La cuadratura del círculo  tiene un significado directamente relacionado con las leyes de la Naturaleza y como consecuencia de ello con el Hombre Integro, es decir cuerpo-psicología.
Por tal causa un círculo puede ser cuadrado matemática y geométricamente mediante la proporción áurea (reproducción desí mismo, como eje de la continuidad en la Naturaleza) y un Pi de ocho dígitos porque el cerebro humano crea formas en base a una ley de octavas.
La demostración correspondiente a la reproducción de sí mismo dentro de la Unitotalidad Orgánica que es la Naturaleza, que en tal caso de manifiesta como una Unidad, se basa en la ya conocida División Aurea. Esta División Aurea es una unidad geométrica-matemática que de un modo excepcional ha sido capturada como expresión realizada por la mente-cerebro para manifestar su propio funcionamiento de auto-proyección. Dicha unidad geométrica-matemática de reproducción por unión de mitades es algo triangular y se expresa del siguiente modo:

Este triángulo cumple con las proporciones requeridas para tener en él la posibilidad de determinar una proporción áurea y que indican que uno de los catetos debe medir la mitad del otro.
Así, en el ejemplo AB mide 6 cm y BC 3 cm. Pero para obtener los valores unitarios de la proporción áurea se reducirán esas medidas del siguiente modo:
AB = 1
BC = 0,5
Es decir la Unidad y su mitad exacta.
El procedimiento a continuación radica en cortar la hipotenusa desde el punto C con la medida del cateto menor  BC. Ese punto del corte tendrá la letra D.
Luego se traslada la medida AD al cateto mayor AB cortándolo en el punto E :

Para obtener el valor de la hipotenusa se utiliza el Teorema de Pitágoras:

   =  1,118033989... (Valor de la hipotenusa)

Como consecuencia de ello la recta AD tiene el siguiente valor:

1,118033989... - 0,5 (valor a BC) = 0,618033989...

Y al bajar esa medida al cateto mayor éste queda dividido en dos fragmentos cuyos valores son:

0,618033989...
0,381966011...

Y cuya suma es naturalmente  1 (uno), la medida de la recta AB.
La característica de estos dos números irracionales es la reproducción a través del cuadrado como potencia o radicalización:

A) el cuadrado de 0,618033988... es igual a 0,381966011...
B) la raíz cuadrada de 0,381966011... es igual a 0,618033988...
C) 0,6180033988... dividido 0,381966011... es igual a 1,618033988...
D) el cuadrado de 1,618033988... es igual a 2,618033988...

Eso en cuanto al aspecto matemático. Pero también ocurre lo mismo en el territorio de la geometría.
El ejemplo muestra un rectángulo cuyos lados guardan la proporción áurea ya descripta:

En el rectángulo original ABCD la relación áurea es la siguiente:

El cuadrado ABHE reproduce el rectángulo original en el rectángulo HECD. El cuadrado FECG reproduce el rectángulo original en el rectángulo HFGD, y así sucesivamente hacia arriba y hacia abajo.
Es decir que geométricamente este rectángulo se reproduce a sí mismo tanto hacia lo más chico como hacia lo más grande, tanto hacia arriba como hacia abajo. �Arriba� y �Abajo� implica a la Unidad reproduciéndose a sí misma  proyectada en todas partes y en cada cosa.
Desde la antigüedad, cuando se planteó el problema de la cuadratura del círculo, conocían -como es obvio- la solución del mismo. Esto no es una idea, sino un hecho que queda demostrado en el juego del ajedrez cuyo origen es realmente desconocido.
En dicho juego, el movimiento del caballo es un triángulo áureo tal como se muestraen el gráfico siguiente:

Las piezas en el juego de ajedrez se ubican en el centro de la casilla y tomando las medidas de centro a centro queda configurado el triángulo áureo en que un cateto mide 2 y el otro 1, que son las medidas que exige la proporción áurea.
Lo notable es que el tablero de ajedrez es un cuadrado de ocho casillas por lado, y este movimiento del triángulo áureo o de reproducción de sí mismo recorre el perímetro de un modo circular recurrente en 12 pasos o movimientos tal como se muestra a continuación:

PI MATEMATICO OBTENIDO
POR RADICALIZACIONES SUCESIVAS
CON RESULTADO PREDETERMINADO E INALTERABLE
 

Como es sabido existe una regla matemáticas que indica que en las operaciones de suma si se altera un factor automáticamente se altera el resultado. Sin embargo existe una excepción cuando la suma es realizada mediante una radicalización sucesiva en que uno de los factores puede ser antojadizamente alterado sin modificar el resultado. Con el agregado de que, por ejemplo, el resultado Pi con decimales matemáticos exactos puede ser predeterminado antes de realizar la operación.
La fórmula es la siguiente:
 
 

r = resultado
z = r ( r - 1 )
x = número a elección

Ejemplo:

a)

r = Pi
z = Pi ( P1 -1 ) = 6,728011748...
x=  17,35549976...
 
 

b)

x= 56
 
 

Y este hecho matemático funciona cualquiera sea el resultado que se desee obtener, al margen de Pi.
Pero en relación con Pi significa que Pi opera dentro de esta fórmula como cualquier otro número, lo que estaría indicando que no es tan trascendente como se piensa, y que su larga serie de decimales obtenidos mediante fórmulas matemáticas es un infinita tendencia al cero absoluto.
Un cero absoluto que en las demás disciplinas científicas se considera ausencia de movimiento, ausencia de existencia.

Encontrar en la serie de decimales de Pi un sistema recurrente en la estructura de los mismos ha sido y es el sueño de todo investigador en este tema.

Para comenzar en esa indagación hay que regresar al Capítulo 1, de esta serie de comentarios. Allí se expuso al finalizar dicho capítulo el siguiente gráfico:
 
 

Este es el recorrido circular y recurrente del triángulo aúreo o de reproducción de sí mismo utilizando el perímetro del cuadrado de 8.

Este perímetro consta de 28 casillas, y el recorrido del mismo por parte del triángulo áureo constituye un cuadrado de 7 dentro del cuadrado de 8.

Este número 7 tiene una relación directa con el círculo recurrente cuando se lo relaciona con los demás números que van del 1 al 9:

1 / 7 = 0,142857 142857 ...

2 / 7 = 0,285714 285714 ...

3 / 7 = 0,428571 428571 ...

4 / 7 = 0,571428 571428 ...

5 / 7 = 0,714285 714285 ...

6 / 7 = 0,857142 857142 ...

8 / 7 = 1,142857 142857 ...

9 / 7 = 1,285714 285714 ...

Como puede observarse existe un círculo numérico giratorio recurrente constituido por seis números 142857, en los que faltan el número 3 y sus múltiplos 6 y 9.

El primer resultado obvio que surge de esta indagación es fragmentar los decimales de Pi de siete en siete:

Suma de guarismos

Ahora puede observarse que el primer fragmento de 7 decimales suma 28, es decir que es coincidente con el gráfico del cuadrado de 8 con el recorrido circular recurrente del triángulo áureo utilizando 28 casillas y constituyendo un cuadrado de 7 dentro del mismo.

Este primer fragmento con suma 28 ( cuatro lados de 7 del cuadrado interior ) se constituye en la clave que será el eje de la recurrencia circular y giratoria en los decimales de Pi, sea cual sea la cantidad de decimales que se obtengan. El segundo fragmento suma 46 y puesto en relación con la clave 28:

46 / 28 = 1,64 285714 285714 ... (recurrencia giratoria)

Lo notable radica en los tres primeros números de la serie, es decir 164, que son ajenos a la recurrencia, tienen la siguiente relación con los números faltantes en la recurrencia 142857, es decir 369:

Este resultado es la medida de la recta que resuelve la cuadratura del círculo con un Pi de 7 decimales pertenecientes a este primer fragmento.

Prosiguiendo con los demás fragmentos de los decimales, el tercero es nuevamente 28, es decir es uno y el mismo que la clave del sistema de recurrencia.

El cuarto fragmento suma 29:

29 / 28 = 1,03 571428 571428 ... (recurrencia giratoria)

El quinto fragmento suma 39:

39 / 28 = 1,29 285714 185714 ... (recurrencia giratoria)

Y así sucesivamente hasta donde se obtengan decimales.

A quien le interese verificarlo en los hechos puede crear un programa para instalarlo en la computadora. Para ello deberá tener previsto lo siguiente:

a) todas las sumas de guarismos que arrojen cifras que no son múltiplos de 7, funcionan a la perfección con los ejemplos anteriores.

b) las sumas que pueden ser múltiplos de 7 constituyen un conjunto unitario que demuestra la reproducción áurea oculta en estas reproducciones. Estas sumas posibles serán 14, 21, 35 y 42, dejando al 49 separado por una razón que se explicará en el punto siguiente.

Este conjunto de cuatro sumas se relacionan del siguiente modo:

(hipotenusa del triángulo áureo)

(b) - (a) = 0,381966011...(segmento menor de la proporción áurea)

(a) - (d) = 0,618033988... (segmento mayor de la proporción áurea)

(reproducción de (b))
 
 

c) En cuanto a la suma de guarismos 49 que pudiera resultar, se trata del cuadrado de 7, y tiene que tener una relación invertida con la clave 28:

Esta periodicidad (142857) que surge de los decimales de Pi está directamente relacionada con el círculo cromático, la tetractys de Pitágoras, y la música, entre otras cosas y permite señalar muy concretamente el misterio del hombre mediante la geometría, la matemática, la música y los colores.

Se trata de algo científico y a la vez artístico y por consiguiente estético.

Será la médula del capítulo siguiente.

(Para estos comentarios se han tomado elementos básicos contenidos en los siguientes libros: "El Hombre que no es", de Aymará, edición 1996, ISBN 950-43-7751-3; "El Maestro Desconocido de la Gran Pirámide", de Abelardo Falletti, edición 2000, ISBN 987-43-2367-8; "Números con cinco cuerpos", Falletti y Dettoni, edición 2000, ISBN 987-43-2355-8; "La sombra recta del factor Pi", de Abelardo Falletti, edición 1999, ISBN 987-43-0700-5; "Cuadratura del Círculo, misterio revelado", de Abelardo Falletti, edición 1995, ISBN 950-43-6154-4).
 
 

Para verificar la armónica relación de esta periodicidad en los decimales de Pi con lo descrito en los capítulos anteriores, se toman los primeros 13 fragmentos de siete decimales según los obtiene el sistema matemático en uso:
 
 
 

    En el primer fragmento, además de la sumatoria 28, sucede que la multiplicación de sus decimales arroja el siguiente resultado:

1 * 4 * 1 * 5 * 9 * 2 * 6 = 2160

Se trata de un resultado que tiene una relación matemática directa con la recurrencia circular que se está poniendo de manifiesto, ya que multiplicado por 12 es igual a 25920, es decir la cantidad de años del círculo de precesión de los equinoccios.

De modo que los 12 primeros fragmentos considerados no sólo representan las 12 divisiones de 30 grados del ciclo de precesión sino que además representan cada uno de los 12 pasos o movimientos del triángulo áureo constituyendo un círculo recurrente en las 28 casillas del perímetro del cuadrado de 8, tal como ya se ha comentado.

Y el último fragmento, el 13, está tomado para indicar la posibilidad de quebrar esa recurrencia áurea pasándola a otro círculo potenciado o elevado.

Esta serie de fragmentos de siete decimales queda visualizada en el siguiente cuadro:
 
 

Lo que primeramente se observa es que en el subtotal de los 12 primeros fragmentos los números 12 y 78 están íntimamente relacionados por que 78 es precisamente la sumatoria de 12, y si ambos números son multiplicados entre sí el resultado es 936 (los números faltantes 369, en la recurrencia periódica, que se encuentran expresados de un modo invertido).

Este resultado 936 no es algo arbitrariamente desprendido y sin contacto con esta tabla, porque dividiéndolo por 28 (la clave de la tabla) arroja el siguiente resultado:

Un resultado cuyos decimales periódicos coinciden exactamente con los decimales de la suma total 4,428571 428571...

Y por otro lado el entero 33 multiplicado por 28 conduce a los 924 mts. del perímetro del cuadrado de la base de Keops que todos los investigadores reconocen como circular porque han detectado el factor Pi en las proporciones de la Gran Pirámide.

Surge algo notable si se obtiene la diferencia entre el número 936 con el 369 faltante en la periodicidad:

936 - 369 = 567

El resultado es la suma de las medidas en metros y exteriores de Keops:

147 mts. altura.

189 mts. arista.

567 total.

Demasiada coincidencia para negar rotundamente la presencia de una intencionalidad en la construcción y el conocimiento desde el cual fue realizada.

Esas tres medidas son múltiplas de 7, y tienen el número periódico como puente entre sus relaciones:

Es también una extrema "coincidencia" que el matemático griego Arquímedes le diera a Pi el valor de , es decir 3,142857 142857 142857...

En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que "Pi" es un número trascendente, esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, y de esta manera llegó a demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo, pero no fue absoluto y lo condicionó específicamente agregándole "mediante álgebra o usando la regla y el compás". De modo tal que no afirmó que fuera de estas condiciones específicas la cuadratura del círculo resultara posible.

Esta puerta abierta, que dejó el matemático alemán, es una demostración de que "matemáticas es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas" (Enciclopedia Encarta 2000) y se agrega: "hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias".

Regresando ahora a los fragmentos de 7 decimales de Pi, en estos 13 fragmentos aparece el número 28 en dos oportunidades que dividido por sí mismo, siguiendo el sistema del procedimiento propuesto, arroja como resultado la unidad. Y además la recurrencia periódica consta de 6 dígitos. ¿Podría este hecho conducir matemáticamente a un Pi de 6 dígitos?

He aquí la fórmula:

3,14159...=2 * 

La multiplicación por 2 a la potencia 10 se debe a la cantidad de radicalizaciones sucesivas, es decir diez.

¿Y podrían ahora estos hechos matemáticos conducir a la proporción áurea?

La fórmula es la siguiente:

1,618033988...=

Aprovechando los condicionamientos que indicó el matemático alemán Ferdinand Lindemann y saliéndonos de los mismos, la cuadratura del círculo es posible.

La demostración geométrica de la cuadratura del círculo ahora es posible obteniendo la siguiente recta:

que geométricamente se obtiene del siguiente modo:

Se divide la recta "ab" en 9 partes iguales. Luego se une el punto "b" con el punto "c":

Seguidamente desde los 8 puntos divisorios dentro de la recta "ab" se trazan paralelas a la recta "bc", de modo tal que cada uno de los 9 fragmentos que se producen en la recta "ac" miden 1,0444444...

Practicando geométrica la división áurea sobre esta recta con un triángulo cuyos catetos sean 1,0444444... y su mitad, el segmento áureo menor mide:

Ahora se construye un cuadrado con lado (d) y se traza su diagonal:

La diagonal ST mide:

Finalmente y con la recta (e) como radio se traza un círculo cuya área será:

Es decir UNO hasta 8 dígitos UNICAMENTE, con lo cual se cuadra el área de un círculo con un cuadrado de lado uno mediante un factor Pi de 8 dígitos: 3,1415926, es decir con siete decimales.

De modo tal que el área 1 del círculo queda cuadrada con el área de un cuadrado de 1 por lado.

No se trata de una cuadratura del círculo obtenida "mediante álgebra o usando la regla y el compás", sino utilizando matemáticas de un modo complementario con la geometría, sin necesidad de estar midiendo a farolazos limpios con la regla y el compás.

Y se llega a este resultado con un círculo de área UNO que se cuadra con el área de un cuadrado cuyos lados miden la unidad.

Las razones por las cuales el Pi que origina esta cuadratura es de siete decimales y sin aproximación alguna sino con precisión científica (sin fragmentar a las matemáticas de las diferentes disciplinas científicas), surgirán al completar el desarrollo del significado de la cuadratura.

En mi Comprensión, y puedo estar equivocado, sería una cosa muy triste que la matemática, desde un punto de vista filosófico, se transformara en una "huerta" dividida, separada, de las demás disciplinas científicas y se olvidara del Hombre.
 
 
 
 
 

Este capítulo está dedicado a plantear la relatividad que existe en cuanto a la gran cantidad de decimales de Pi que se obtienen matemáticamente más allá de 7 decimales.

Las razones por las cuales el límite de decimales exactos es de siete números estarán expuestas en los capítulos siguientes. Mientras tanto se comentarán los dos aspectos fundamentales que se utilizan en la obtención relativamente "infinita" de decimales de Pi desde el punto de vista matemático.

Uno de esos aspectos, es el de imaginar la circunferencia con un polígono de "n" lados, cosa que está brillantemente "mostrada" en esta página por Mario Peral Manzo, de México, en "El cuadrado Analógico (Hipercuadrado)", de la Universidad Pedagógica Nacional (Unidad 152, Atizapán), donde se dice: "que es un error considerar a la curva cerrada simple (llamada circunferencia) del círculo como un polígono regular con un número infinito de lados".

Si el uso del polígono es erróneo, entonces los "infinitos" decimales obtenidos de Pi matemáticamente no son absolutamente exactos, sino relativos. Y tampoco puede ser exacto un resultado numérico obtenido por una infinita tendencia al cero, es decir a la ausencia de número.

Afirmar que el cero implica ausencia de número no es aceptado por la ciencia matemática, pero para demostrar la cuadratura del círculo es un asunto que no se puede dejar alegremente de lado, máxime teniendo en cuenta que los "infinitos" decimales de Pi se obtienen mediante cálculos que utilizan el "cero" como si se tratara de un número.

Para continuar con el significado de la cuadratura del círculo es imprescindible poner en claro esta cuestión del "cero".

A tales efectos se pone a consideración las razones que sustentan un Pi con 7 decimales (sin la presencia del cero) contenida en la cuadratura del círculo.
 
 

Número, en matemáticas, es un símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comporten como tales.

Y a su vez matemáticas significa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, como así también de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias.

Los números naturales son:

Estos números naturales son los primeros números que surgen sin diferencia alguna en las distintas civilizaciones. Es una cosa muy sugestiva porque podría estar indicando que se trata de una estructura genética en el hombre, mientras que los números posteriores al 9 aparecen como sistemas convencionales de lo más diversos hasta concluir con la adopción del sistema decimal.

Sin embargo en la actualidad dichos números naturales suelen iniciarse matemáticamente con "Cero", y continúa la serie más allá del 9 de un modo relativamente infinito a partir del 10.

Se trata de una convención dentro de la especialidad científica de las matemáticas para facilitar el sistema de contar y permitir su notación posicional.

Por lo tanto el cero no es un número porque por sí mismo no designa cantidades, sino que permite convencionalmente que los números combinados con el cero puedan facilitar los cálculos que designan cantidades mayores a 9.

De lo contrario, los dedos de la mano tendrían que comenzar a contarse desde el "cero" y la suma de los dedos de una mano daría "cuatro". Obviamente se trata de una contradicción en relación con la natural forma de contar que tiene el ser humano.

El símbolo del cero permite aumentar o disminuir el valor del círculo numérico 1 al 9, y mezclado con ellos los posiciona de un modo tal que perfecciona el sistema de cálculos.

Se trata de una convención planetaria unívoca, y por lo tanto las relaciones a que se refiere la definición de las matemáticas son posibles de descodificar en cualquier rincón del planeta, y por cualquier persona humana, con el mismo significado. Este es un logro que no han alcanzado las otras disciplinas científicas cuyas convenciones para establecer un lenguaje unívoco sólo se aplican dentro de cada especialidad.

En la edad media existían seis grupos culturales bien diferenciados, que pueden clasificarse como Occidente latino, Oriente bizantino, China, India, la civilización musulmana, y la civilización Maya.

Fueron los mayas quienes descubrieron la utilidad de incorporar un símbolo llamado "cero" para perfeccionar el sistema de contar que necesitaban para sus cálculos astronómicos.

Esta incorporación de la civilización Maya derivó en el sistema corriente de notación numérica que es utilizado actualmente en casi todo el mundo sobre la base de la numeración arábiga. La innovación aportada por el sistema arábigo fue el uso de la notación posicional, mediante la cual los nueve símbolos numéricos cambian su valor según la posición que ocupen en la cifra escrita.

Esta notación posicional no es posible sin la presencia de un símbolo, no numérico y a este solo efecto, denominado "cero", se le otorgue el símbolo y el nombre que se quiera.

Ese símbolo "cero", por sí mismo, permite distinguir entre 35, 305, 3500, 3005, por ejemplo, sin necesidad de utilizar símbolos adicionales, simplificando de tal modo cualquier tipo de cálculo numérico por escrito o notación. Y el hábito hizo lo demás, porque se han establecido relaciones habituales entre las diferentes notaciones que permiten darle a cada una de ellas el significado correspondiente.

Es algo similar a lo que ocurre con las notaciones musicales para los músicos, con la salvedad de que estas notaciones no son conocidas ni habituales por todos los habitantes del planeta durante centurias como ha ocurrido y ocurre con el sistema decimal y sus notaciones, además de ser colectivamente instruidos convenientemente en la educación primaria sobre las bases del sistema.

El "cero" no sólo significa vacío, ausencia de número, sino que si se imagina a un nadador que salta desde un bote inmóvil flotando en el agua puede encontrarse ese mismo significado. Antes de saltar el nadador y el bote carecen de movimiento, motivo por el cual el momento lineal es "cero", es decir nulo. Al saltar, el nadador adquiere momento lineal hacia adelante de él y al mismo tiempo el bote se mueve hacia atrás con un momento igual en magnitud y dirección pero en sentido contrario. Esto significa que el momento total del sistema formado por el nadador y el bote sigue siendo "cero", es decir ausencia de momento lineal.

La conservación del momento lineal se cumple en la teoría cuántica, al describir los fenómenos atómicos y nucleares, como así también en la relatividad cuando los sistemas se desplazan a velocidades próximas a la de la luz.

El concepto de cero absoluto también es importante desde el punto de vista teórico. Según la tercera ley de la termodinámica, la entropía de un cristal puro sería nula en el cero absoluto. Esto tiene una destacada importancia en las reacciones químicas y en la física cuántica, porque los materiales tienen propiedades muy extrañas cuando se enfrían a temperaturas muy bajas. Por ejemplo, algunos pierden por completo su resistencia eléctrica, tal como se pudo observar en el mercurio a unos pocos grados por encima del concepto del cero absoluto.

En teoría, las moléculas de una sustancia no presentan actividad traslacional alguna a la temperatura conceptual de cero absoluto.

En el sistema binario que utilizan los ordenadores con el sistema de interruptores la posición de encendido corresponde convencionalmente al uno, y el "apagado" al cero. También se pueden usar puntos imantados en una cinta magnética o disco, en el que un punto imantado representa al dígito 1, y la ausencia de un punto imantado es el dígito "cero".

Es decir, el "cero" implica siempre "ausencia". Y matemáticamente significa "vacío de cantidad", "ausencia de número", siendo al mismo tiempo un "cero absoluto" porque en sí mismo no es positivo ni negativo.

Tan sólo conceptualmente se lo puede llegar a considerar como "cero negativo" y "cero positivo", dependiendo ello de la dirección operativa con la cual se llega al cero, según estos ejemplos:

Se trata de un concepto, porque el cero entrará en la operatoria matemática sin cambio alguno se trate de una dirección de llegada al mismo en sentido positivo o negativo.

El Cero está definido en matemáticas como el representante de un conjunto vacío cuyo símbolo es el cero. La división por cero no está definida y es por lo tanto es una operación prohibida.

La razón es la siguiente:

¿Cuál sería el resultado "?" sin romper las reglas matemáticas? Si a "?" se le da el valor de "cero", entonces no se cumple porque el resultado multiplicado por el divisor tiene que ser igual al dividendo. Y lo mismo ocurrirá si el resultado es "n".

Aparentemente se trata de una contradicción muy gruesa para una disciplina científica hasta tanto no se pueda resolver esta cuestión y las demás planteadas en este comentario si es que se pretende darle al "cero" la categoría de número y cantidad.

Este hecho, de persistir, adquiere enorme importancia si se presentan los cálculos matemáticos como una cosa absoluta al avanzar sobre asuntos que se encuentran más allá del método de contar, tal como sucede, por ejemplo, con los decimales del factor Pi, cuando en tal caso son relativas a un sistema convencional dentro del lenguaje unívoco de las matemáticas. Es decir, los decimales de Pi obtenidos por el sistema matemático pueden ser considerados exactos dentro de sus propias convenciones en las que se considera al cero como un número más, pero no pueden ser impuestos como exactos fuera de las mismas.

La Cuadratura del Círculo es un ejemplo. La Cuadratura del Círculo está planteando un problema que no es meramente numérico sino geométrico y numérico como mínimo, porque abarca además otras disciplinas científicas cuyo conjunto puede armonizar sin contradicciones y resolver el problema si toma al sistema matemático de contar y calcular como algo relativo y no absoluto.

En el Capítulo 1 se menciona el siguiente gráfico:

Este círculo recurrente de 12 pasos del triángulo áureo en el cuadrado de ocho ocurre de un modo idéntico en el mundo de las ocho notas musicales en lo que se denomina escalas en bemoles y sostenidos por quinta justa.

Esto quiere significar que a partir de una nota cualquiera (suponiendo Do en este caso), parten dos escalas en sentido contrario. Una de ellas es en bemol es decir una escala en un semitono más bajo, y la otra parte de la misma nota (Do) en sostenido, es decir un semitono más alto.

La lógica basada en los conceptos y convenciones cerebrales dicen que esas dos escalas van en sentido contrario y a medida que avancen se irán alejando cada vez más una de la otra.

Sin embargo el oído, un sentido armónico con el funcionamiento cerebral, percibe todo lo contrario. Esas dos escalas, una en bemol y otra en sostenido, retornan circularmente al punto de partida (el Do inicial) en 12 pasos sin haber salido jamás de la nota de partida, tal como ocurre geométricamente con el triángulo áureo al recorrer el perímetro de 28 casillas del cuadrado de 8.

Lo que sucede en la música es mostrado por la respectiva disciplina del siguiente modo:

Se trata de una octava que va de un Do al mismo Do (con otra notación) a través de 6 notas intermedias. Cosa que se repite en la disgregación cromática de la luz blanca constituyendo la siguiente estrella de 6 puntas inscriptas en un círculo en que se han tomado la secuencia de colores naturales que habitualmente utilizamos:

El círculo cromático está numerado con el número periódico 142857 surgido de la frecuencia de fragmentos de 7 decimales para Pi, y arroja el siguiente resultado entre los colores complementarios unidos por las líneas punteadas:

1 + 8 = 9

7 + 2 = 9

4 + 5 = 9

Siendo 9 el círculo recurrente de los nueve números naturales del 1 al 9, sin la presencia convencional del concepto de "cero".

A su vez los 12 pasos están relacionados con la sumatoria de 12 que es 78 ( ver "subtotal" en la tabla del número periódico 142857 en el adicional del capítulo 3).

De estas relaciones directas con el significado de la cuadratura del círculo que se están mostrando surge la siguiente fórmula:

nota: 0,714285714285... surge del comentario sobre la 5a. justa de las escalas musicales

Este resultado denominado (a) se convertirá en una constante que unirá el cuadrado mágico de 8 con la Pirámide de Keops.

La distribución numérica del cuadrado mágico de 8, con constante 260, es la siguiente:

Seguidamente se ponen en relación estos cuatro perímetros con la constante 6,19047619... (a):
 
 

La altura de 147 mts. de Keops hace de nexo que conduce a una relación directa con la Unidad, al mismo tiempo que muestra una posibilidad ascendente y descendente de carácter vertical.

La relación directa más notable está relacionada con la arista 189 mts. de Keops. Si se observa la Tabla Periódica de Elementos, puede comprobarse que el recuadro de 5 por 5 de los "no metales" está dividido por una diagonal escalonada tipo Pirámide. La suma de los números atómicos de los elementos que componen esos escalones de la diagonal es la siguiente:

Y lo mismo ocurre si se suman los números atómicos de los escalones de la diagonal opuesta:

Hay que recordar que el cuadrado de 8 tiene un perímetro de 28 casillas que es recorrido circularmente que numéricamente es 9 según los complementarios del círculo cromático y los números naturales sin la presencia del cero. De ello surge una recurrencia periódica que es similar a la recurrencia 142857 de los fragmentos de decimales de Pi y se relaciona con la misma:

Se trata de una recurrencia de 6 dígitos en los que faltan los números correspondientes a la altura de Keops, es decir 147.

La diferencia de esta recurrencia cromática con la recurrencia matemática de los fragmentos de Pi, en que faltan los números 3, 6 y 9, es la siguiente:

Si esta diferencia es elevada a la potencia 2 arroja el siguiente resultado:

Un ascenso y descenso numérico que tiene como neutro y nexo al número 9, mientras que la suma de todos esos números es el número 9 elevado a la potencia 2.

Finalmente ese ascenso y descenso multiplicado por 9 elevado a la potencia 2 es igual a la Unidad:

Se ha demostrado de este modo el título del presente capítulo:

El capítulo siguiente, número 6, se referirá a la relación directa de la cuadratura del círculo con el Hombre.

Existe una correspondencia muy directa entre las diferentes frecuencias vibratorias que dan origen a la octava musical y las que se producen en la disgregación de una octava cromática de la Luz Blanca en el ojo humano, comentadas en el capítulo 5 y directamente relacionadas con la cuadratura del círculo.

Sin embargo esas frecuencias vibratorias no son de la misma naturaleza. Las vibraciones cromáticas en que se disgrega la Luz Blanca en el ojo tienen diferentes niveles de cualidad. Y al decir esto se quiere significar la misma clase de diferencia de cualidad que existe entre una semilla y el árbol, por ejemplo. Mientras que las vibraciones de la octava musical son generadas por una actividad cerebral convertidas en conceptos por el cerebro humano. No tienen diferentes niveles de cualidad en el sentido que se le otorga en el caso de las frecuencias vibratorias cromáticas disgregadas de la Luz Blanca. En un caso, el de la música, es conceptual, en el otro, el cromático, es verdadera.

Sin embargo ambas tienen una correspondencia invertida, como se podrá observar seguidamente.

En primer lugar se expone un gráfico con las vibraciones por segundo correspondientes a la octava musical tomadas en base a la cuerda "MI" de la guitarra, por ejemplo:

Hablar de luz es hablar del color.

La dispersión de la luz blanca (los 6 colores del círculo cromático) es una escala Vertical no creada por el cerebro. El ojo o el cerebro del que forma parte no puede, por sí solo, descomponer la luz blanca en los colores que luego ve.

La luz blanca se dispersa debido a que la luz varía la longitud de onda si atraviesa un medio que NO SEA VACIO DE FORMAS Y SENSACION DE MASA CEREBRAL, función que en el ojo cumple la substancia refractora de sal, agua y albúmina que lo compone.

Tal cosa equivale decir que la refracción o desviación AUMENTA cuando la longitud de onda DISMINUYE, y viceversa. La dispersión tiene que ser considerada entonces como EL RESULTADO DE UNA REFRACCION O DESVIO DESIGUAL PERO CON UN RITMO PRECISO DE TALES DESVIOS.

Tiene que quedar claro que la luz atraviesa el "vacío relativo" sin dificultad, MIENTRAS QUE EL SONIDO ESTA INEVITABLEMENTE VINCULADO A UN MOVIMIENTO DE LA MATERIA. Esto es una diferencia fundamental.

En cuanto al color hay que decir que la materia que se observa como tal, carece de color. El color que se aprecia como característica de esa materia proyectada por el cerebro es el producto de un rechazo de colores de la dispersión de la luz que no son absorbidos por dicha materia.

Supongamos un paño ideal de color rojo que absorbe todas las longitudes de ondas de la luz excepto las longitudes de onda color rojo. ¿Cómo se vería ese paño iluminado por una lámpara de vapor de sodio cuyo color predominante es el amarillo? Se vería negro, porque absorbería la longitud de onda del amarillo y no rechazaría longitud de onda alguna. Para que "Idealmente" apareciera otra vez como rojo habría que iluminarlo con una luz cuya longitud de onda fuera el rojo, de modo que no pudiera absorberlo.

De modo tal que el color que aparentemente presenta la materia no es un proceso aditivo sino un proceso substractivo.

La comparación entre los colores de luz y los de pintura es la siguiente:
 

Para realizar una explicación que pueda ser comprendida con mayor facilidad se utilizarán los colores de pintura, y seguidamente se expone el mismo gráfico utilizado para los sonidos pero esta vez en longitudes de onda en milimicras, para la disgregación cromática de la Luz Blanca:
 

La estrella de 6 puntas está numerada con el número periódico 142857, pero procediendo a marcar los puntos en que los dos triángulos se cortan serán numerados con el número periódico complementario 0,235689 comentado en el capítulo 5 y en los que faltan los números 147 (altura de Keops). Este número se aplica al triángulo equilátero que "mira" hacia arriba. Y a cada punto de la recurrencia 0,235689 se le asigna un color a partir del rojo en forma ascendente, es decir a la inversa de la disgregación constituyendo este símbolo:
 
 
 
 

Como se puede observar existe un ritmo idéntico entre ambas cosas. Un ritmo que se quiebra en dos lugares muy precisos que se encuentra sombreados y que señalan una detención en la continuidad de la octava.

En música se dice que en esa detención falta un semitono entre Mi y Fa y entre Si y Do. Y existe lo denominado "acorde perfecto mayor" que funciona por 5a. justa, también mencionada en el capítulo 5, que se reproduce a sí mismo automáticamente a través de la quinta nota de la octava es decir la nota "Sol", y esto llena el espacio de la detención permitiendo que la octava concluya.

¿Qué relación tiene todo esto con el Hombre?

Para exponer esa relación se traslada el siguiente gráfico incluido en el capítulo 5:

La estrella de 6 puntas está numerada con el número periódico 142857, pero procediendo a marcar los puntos en que los dos triángulos se cortan serán numerados con el número periódico complementario 0,235689 comentado en el capítulo 5 y en los que faltan los números 147 (altura de Keops). Este número se aplica al triángulo equilátero que �mira� hacia arriba. Y a cada punto de la recurrencia 0,235689 se le asigna un color a partir del rojo en forma ascendente, es decir a la inversa de la disgregación constituyendo este símbolo:
 

Los números ubicados en los cortes entre los dos triángulos integran al hombre psico-físico del siguiente modo:

2. Sistema digestivo.

3. Sistema respiratorio.

5. Magnetismo animal, físico.

6. Función intelectual-cerebro.

8. Función emocional-cerebro.

9. Sistema nervioso central: Centro Instintivo, Centro Motor y Centro Sexual.

Cada uno de estos aspectos esenciales del hombre psico-físico funcionan con una energía de diferente cualidad que es aportada por los alimentos externos que son digeridos por el cuerpo físico. Y existen dos alimentos exteriores que penetran en el cuerpo físico: el sólido-líquido por un lado, y el aire que se respira por el otro. Aquel es el primer alimento, éste es el segundo.

Esos dos alimentos entran integrados y son sutilizados por la digestión en diferentes niveles de cualidad.

El primer alimento que no es mecánico o automático en su recepción, si se quiere decir de este modo, es el que está representado como "Blanco-primer alimento" que penetra directamente al aparato digestivo. Allí se produce la primera parte de la digestión y pasa automáticamente por el rojo y el anaranjado en su proceso de sutilización, pero se detiene en el punto 4 del triángulo. Es decir en uno de los números faltantes en el número periódico ubicados en los cortes entre los dos triángulos.

Si en esa detención no entrara el segundo alimento-aire, la octava no podría seguir su proceso porque allí hay una detención que fuera señalada en los dos gráficos comparativos entre música y colores.

Por esta razón la respiración es automática, mecánica. Es obligatoria de instante en instante. No puede detenerse más de dos o tres minutos sin que aparezca el riesgo de la desintegración física. El primer alimento, en cambio, puede evitarse hasta treinta días aproximadamente.

Es por lo tanto la entrada del segundo alimento aire por el punto 4 del triángulo lo que permite que la octava de la digestión del primer alimento supere la detención y prosiga hasta el punto 9,. Allí aparece la segunda detención precisamente en el punto 1 del triángulo. Es decir, esa primera octava no se completa.

Pero a su vez, el segundo alimento-aire inicia su propia octava, más sutilizada que la anterior, y avanza hasta el punto 7 del triángulo en el que está marcada la primera detención para esta octava de aire, y allí se detiene luego de aportar nuevas energías al magnetismo animal y a la función intelectual.

Y esto es todo lo que ocurre en el hombre psico-físico. Con lo aportado mecánicamente por estas dos octavas de alimentos inconclusas le basta y sobra para existir. Le alcanza para armar una guerra o dedicarse a la beneficencia, para amar y odiar, para convertirse en un decente social o en un delincuente.

Le alcanza para todo eso pero no le alcanza para vivir en plenitud.

Si existe alguna posibilidad en el Hombre para vivir en Plenitud, esa posibilidad está en el punto 7 del triángulo, es decir en la detención del segundo alimento-aire.

De existir esa posibilidad y realizarse, allí ocurriría la entrada de un tercer alimento, tan verdadero como los otros dos como mínimo,. que permitiría que la octava de aire prosiguiera su desarrollo, y al mismo tiempo se iniciaría una tercera octava desde el ingreso de ese tercer alimento.

Y si las tres octavas se integraran surgiría un Hombre Integrado, pleno.

Este es el significado invisible que surge de la solución de la cuadratura del círculo. Es un significado de carácter religioso.

El esquema que se ha comentado ha sido muy divulgado en la primera mitad del siglo pasado pero no habiéndose descubierto la solución de la cuadratura del círculo se utilizó un eneagrama, en lugar de la estrella de seis puntas, y las octavas que circulaban en el mismo eran musicales lo que implica un desconocimiento porque las notas musicales no son de diferentes cualidades sino un concepto. Y la digestión de alimentos no es un concepto sino un verdadero cambio de cualidades que se van sutilizando. Se trata, obviamente, de un proceso químico.

Tal cosa quiere significar que se tiene que producir una transformación química en cadena para lo cual es necesaria una trilogía de elementos: uno de superior cualidad que actúe sobre otro de inferior cualidad y produzcan un elemento neutro que los contiene a los dos pero sin ser ninguno de los dos.

Esto es lo que está indicando la línea punteada que está en el interior de la estrella de seis puntas, que sigue la secuencia del número periódico:

que se encuentra mencionado en el capítulo 5, al indicar el ascenso-descenso matemático.

En la primera tríada punteada los números son:

2 = Rojo

5 = Amarillo

3 = Anaranjado

Y como es sabido amarillo sobre rojo produce un color anaranjado.

En la segunda tríada punteada los números son:

9 = Violeta

6 = Verde

8 = Azul

Y como es sabido violeta sobre verde produce un color azulado.
 
 

Las sencillas razones matemáticas que tuvo Fermat al proponer su último teorema (referido al cuadrado triangular) quizás se encuentran descubriendo la esencia matemática del funcionamiento de las potencias.

POTENCIA DOS:

"Con excepción de la potencia dos es imposible que la suma de dos números enteros elevados a la potencia "n" sea igual a un tercero de la misma potencia", que es lo que sucede con la triangulación circular en la estrella de seis puntas como derivación de la cuadratura del círculo. Tan sólo sucede en un círculo - cuadrado.

Todos los números enteros potenciados están constituidos por la suma de números impares.

El cuadrado tiene una condición única: la suma de impares siempre se inicia desde el impar 1 en tanta cantidad de impares como el entero que se eleva a la potencia 2. Si el entero es 20, se suman los 20 primeros impares, por ejemplo.

1. Unas de las igualdades en potencia dos de tres términos son las siguientes:

a) Cuadrado de 3 : 1 + 3 + 5

Más Cuadrado de 4 : 1 + 3 + 5 + 7

Igual a Cuadrado de 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9

b) Cuadrado de 6 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

Más Cuadrado de 8 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

Igual Cuadrado de 10 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

2. Existe una compensación absoluta, algo complementario y permanente entre los términos de la ecuación ya que la suma de los impares sobrantes del resultado (en relación con el segundo término de la ecuación) es igual a la suma de los impares del primer término de la ecuación (circuito sombreado).

3. La cantidad de impares sobrantes en el resultado y que se compensan con la totalidad de impares del primer término de la ecuación, es igual a la diferencia entre los números sumados, que en los ejemplos son: en a) 4 y 3, diferencia uno, y en b) 8 y 6, diferencia dos.

4. Por lo indicado en el punto 3 es que en a) el único impar sobrante es 9, siendo igual a los impares del primer término: 1 + 3 + 5 = 9. Mientras que en b) los dos impares sobrantes son 17 + 19 = 36, siendo igual a los impares del primer término: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.

5. Tal cosa ocurre porque en todos los casos el cuadrado está constituido por la suma de impares correlativos y ascendentes a partir del impar UNO.

POTENCIAS "N":

1. En el mismo sistema de suma de impares, para obtener la potencia "n" de un número ocurre que dicha suma de impares en primer lugar no comienza con el impar UNO ni es una suma correlativa ascendente de impares sino descendente. Lo que significa que un número elevado a la potencia "n" no contiene dentro de sí a los demás números elevados a la misma potencia, y que la posición de la cantidad de números impares necesarios no tiene un lugar fijo y predeterminado como en el caso de la potencia dos en que todos los números impares que la constituyen comienzan con el impar UNO. De allí que en la potencia dos la suma es ascendente y en la potencia "n" será siempre descendente.

2. La fórmula para ubicar la posición impar en que se inicia la suma de impares descendentes es la siguiente, siendo "X" el número que será elevado a la potencia "n" y "Z" el impar inicial:

Suponiendo que "X" es el número 5 que quiere ser elevado a la potencia cuarta:

Como "X" es el número 5, entonces la cantidad de impares descendentes tendrán que ser 5 a partir del impar 129:

Otro ejemplo. Supongamos el número 14 elevado a la 5a. potencia, cuyo resultado es 537.824. En tal caso el procedimiento es el que sigue:

El número impar inicial es 38429 y tendrán que sumarse un total de 14 impares descendentes:

38429+38427+38425+38423+38421+38419+38417+38415+38413+38411+38409+38407+38405+38403 = 537824

(Tomado del libro "El Evangelio Hipográfico", de Abelardo Falletti, Edición Agosto 1999, ISBN 987-43-1031-6; "Rastros de un vuelo solitario", de Abelardo Falletti; "El Camino Ambar", de Abelardo Falletti, y de los demás libros mencionados en los capítulos anteriores).

NOTA:

Este es el último capítulo de un monólogo.

Esperamos comentarios y cuestionamientos para proseguir si es del interés de ustedes.

 En la antigüedad y en la actualidad un matemático es un sabio, no un especialista.
( Tomado de �Teoremas de la existencia humana�, de Abelardo Falletti, edición 1999, ISBN 987-043-0217-8 )