APUNTES ACERCA DE LA ESPECULACIÓN SOBRE POSIBLES MENSAJES OCULTOS EN LOS NÚMEROS INCONMENSURABLES. (PROBLEMA PLANTEADO POR CARL SAGAN PARA LAS ESPECIES INTELIGENTES DEL UNIVERSO).

El CASO DE PI (p ).

 

POR MARIO PERAL MANZO

 

En este escrito jugamos con la idea de la posibilidad de encontrar mensajes inscritos en la parte decimal de la constante Pi; desde luego que solo se trata de un juego, pues no creemos que una hipercivilización extraterrestre, según especula Sagan, haya dejado mensajes ocultos en números irracionales como la raíz cuadrada de 2 o el número de Euler por ejemplo. De hecho, estamos seguros de que Sagan también juega con esta idea en la novela de ciencia-ficción a la que aludimos. Sí creemos, junto con este autor, en la posibilidad de que existan sociedades extraterrestres tecnológicamente avanzadas tanto o más que la nuestra, pero aceptar que este universo es creación de una inimaginablemente antiquísima civilización es, creemos, un intento de preservar a toda costa a Dios como creador, salvo que, ahora, con imagen de extraterrestre.

I. HABLAN LOS EXPERTOS...

 

Sagan plantea: "[ ...] la recepción de un mensaje interestelar procuraría una ventaja sumamente práctica, que en términos matemáticos se denomina teorema de existencia y que en el caso que nos ocupa consiste en la demostración de que una sociedad puede vivir y progresar en el marco de una avanzada tecnología."

A pesar de su evidente postura escéptica, Schatzman señala: "Las señales pueden ser de radio (es la hipótesis más corrientemente admitida) u ópticas. Pero para tratar de imaginar la forma bajo la que una civilización extraterrestre podría manifestarse, no podemos partir más que de la experiencia terrestre. ¿Qué señales emitiríamos si quisiéramos comunicarnos (esperando poder hacerlo) con una civilización extraterrestre?".

A la anterior pregunta Drake contesta: "[ ...] se me ocurrió que un sistema potente para enviar mensajes interestelares carentes de ambigüedad sería transmitir imágenes parecidas a las imágenes normales de televisión, proceso éste muy semejante al que siguen los niños cuando aprenden a hablar. Se le enseña al niño un objeto y se le dice su nombre. ¿No tendrá sentido en el contexto interestelar enviar imágenes de cosas y adjuntarles alguna representación lingüística que luego podría utilizarse para construir textos sofisticados? Después de experimentar un poco, comprobé que se podía obtener una imagen bastante buena simplemente dibujándola con puntos blancos y negros. Sin duda los tonos intermedios de gris serían útiles, pero de hecho la caracterización primaria de una imagen puede expresarse muy adecuadamente utilizando sólo el negro y el blanco. La imagen podría dibujarse tomando una red rectangular de puntos, haciendo estos puntos negros o blancos y construyendo así la deseada representación gráfica. La secuencia de puntos negros y blancos que componen la imagen se podía enviar entonces como una secuencia de dos caracteres (uno para el negro y otro para el blanco), dos tonos, o quizá puntos y rayas. Sería una tarea trivial para cualquier civilización inteligente decodificarlo.

"Como ilustración del funcionamiento del sistema, construí una imagen compuesta por 551 caracteres. ¿Por qué 551? Bueno, porque es el resultado de multiplicar 19 por 29 - números primos – y pensé que esto ayudaría a los extraterrestres a disponer correctamente el mensaje. [ Sin embargo...] una sorpresa deprimente: casi nadie de la élite de miembros de la Orden del Delfín fue capaz de interpretar este mensaje. No habían visto hasta entonces ningún mensaje de este tipo y no se les ocurrió intentar un formato de imagen. Hoy en día miles de personas son conscientes de este posible formato y lo decodifican fácilmente."

A pesar de lo anterior, Sagan se muestra optimista en que tendremos suficiente capacidad de descifrar un posible mensaje proveniente de alguna civilización extraterrestre, suponiendo que éste sea emitido según el procedimiento de Drake: "[ ...] el caso más probable es que la comunicación interestelar sea una especie de[ palimpsesto] , como los [ palimpsestos] de antiguos escritores que no disponían de papiro o piedra suficiente y sobreponían sus mensajes a los ya existentes. Quizás en una frecuencia adyacente o con un ritmo más rápido habrá otro mensaje que será una especie de texto elemental, de introducción al lenguaje del discurso interestelar. El texto elemental se irá repitiendo una y otra vez porque la civilización transmisora no sabrá en absoluto cuándo empezaremos a sintonizar el mensaje. Y luego, a un nivel más profundo del [ palimpsesto] , por debajo de la señal de sintonía y del texto elemental, habrá el mensaje real."

El mismo Sagan añade una idea inquietante y provocativa al hacer hablar a un imaginario extraterrestre: "-...cierta idea de qué es lo sobrenatural para nosotros. Se refiere a pi, o sea la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Esto lo conoces, por supuesto, como también sabes que pi es inconmensurable. No hay criatura en el universo, por inteligente que sea, que pueda calcular pi hasta su último dígito porque no existe, sino que las cifras se prolongan hasta el infinito. Los matemáticos humanos realizaron el esfuerzo de calcularlo hasta [ ...] su diez mil millonésimo dígito. Me imagino que no te sorprenderá enterarte que otros matemáticos han avanzado aún más. Bueno, cuando se llega a diez a la vigésima potencia, ocurre algo. Desaparecen los números fortuitos, y durante un período increíblemente prolongado se obtiene sólo una larga serie de unos y ceros.

"Distraídamente, él trazó un círculo en la arena con un dedo del pie.

"-¿Los ceros y los unos por último se interrumpen y se vuelve a la secuencia de números al azar? – Al ver una expresión de aliento en el rostro masculino, ella se apresuró a seguir. – Y la cantidad de ceros y de unos, ¿es producto de los números primos?

"- Sí, de once de ellos.

"- ¿Sugieres que existe un mensaje en once dimensiones oculto en lo más profundo del número pi, que alguien del universo se comunica mediante... la matemática? Explícame más, porque me cuesta comprender. La matemática no es arbitraria, o sea que pi debe tener el mismo valor en cualquier parte. ¿Cómo es posible esconder un mensaje dentro de pi? Está inserto en la trama del universo.

"- Exacto.

"Se quedó mirándolo.

"Hay algo todavía más interesante. Supongamos que la secuencia de ceros y unos aparece sólo en la matemática de base diez y que los seres que efectuaron este descubrimiento tenían diez dedos. Sería como si, durante millones de años, pi hubiese estado aguardando la llegada de matemáticos con diez dedos y veloces computadoras. Por eso pienso que el Mensaje venía destinado a nosotros.

"- Pero eso no es más que una metáfora, ¿verdad? No se trata de pi ni de diez elevado a la vigésima potencia. Y ustedes en realidad no tienen diez dedos.

"- Te diría que no. – Sonrió.

"- Por Dios, ¿qué es lo que dice el Mensaje?"

 

II. NUESTRA APORTACIÓN...

 

Juguemos un poco con esta idea:

Para representar decimales en sistema de numeración binario, Santiago Valiente describe el procedimiento: "(...) multiplicamos la parte decimal (...) por el número que indica la base a la cual queremos convertirla (en este caso 2). La parte entera del producto será el primer decimal. La nueva parte decimal se vuelve a multiplicar por la base de cambio; la parte entera resultante es el segundo decimal. Se sigue este proceso hasta que el producto no dé decimales. Si el número es decimal periódico, se tomarán tantas cifras como se deseen.

"Así:

0.625 x 2 = 1 .250 primer decimal: 1

0.250 x 2 = 0 .500 segundo decimal: 0

0.500 x 2 = 1 .000 tercer decimal: 1

Entonces: (...) 0.625 = 0.1012

 

Basándonos en el procedimiento descrito por Valiente hemos decidido elaborar las representaciones binarias y geométricas de la parte decimal de p en tres modos diferentes: hasta los centésimos (0.14), hasta los diez millonésimos (0.1415926) y el "redondeo" por aproximación (0.1416). También decidimos ordenar las representaciones binarias en líneas de cuatro cifras según su aparición y los periodos que se fueron presentando, por ejemplo:

EJEMPLO 1

Para 0.1 el desarrollo inicial es así:

0.2, 0.4, 0.8, 1.6, 1.2, 0.4, 0.8, 1.6, 1.2, 0.4, 0.8, 1.6, 1.2, 0.4, 0.8, 1.6, etcétera; como se puede ver, se repiten cuatro decimales que delimitan "periodos" en la serie (2, 4, 8, 6), por tanto se justifica el presentar los resultados en columnas formadas por "líneas" de cuatro cifras binarias cada una, tal como:

0.0001,

1001,

1001,

1001,

(...)

 

 

En los concentrados hemos decidido no incluir los desarrollos numéricos por ser éstos una secuencia muy grande y tediosa de números decimales. Tan sólo mostraremos las series periódicas binarias.

REPRESENTACIONES BINARIAS DE LA PARTE DECIMAL DE p

HASTA 0.14

HASTA 0.1415926

REDONDEO POR APROXIMACIÓN 0.1416

 

0.0010

0011

1101

0111

0000

1010

0011

1101

0111

0000

1010

0011

1101

0111

0000

1010

0011

1101

0111

0000

1010

0011

1101

0111

0000

1010

0011

1101

0111

0000

1010

0011

1101

0111

0000

 

 

0.0010

0100

0011

1111

0110

1001

1010

0010

0101

1011

0000

1001

0011

1011

0001

0010

0010

0100

1100

0101

1011

0010

0010

0110

0101

1000

0101

1001

0101

1101

0110

1001

0110

0111

1010

0010

1010

0110

1000

1000

1001

0101

0110

0101

0101

0.0010

0100

0011

1111

1110

0101

1100

1001

0001

1101

0001

0100

1110

0011

1011

1100

1101

0011

0101

1010

1000

0101

1000

0111

1001

0011

1101

1101

1001

0111

1111

0110

0010

1011

0110

1010

1110

0111

0101

0101

0110

0110

1100

1111

0011

 

Aunque estas representaciones están muy alejadas de las especulaciones de Sagan, resultan interesantes por ser una manera muy distinta de manifestar la parte decimal de la constante p , ¿qué nos estarán caracterizando las mencionadas representaciones?, ¿vale la pena intentar encontrarles sentido? La búsqueda de sentido es una tarea eminentemente humana o (siguiendo esta línea especulativa) de cualquier inteligencia cualquiera que ésta sea en el universo. Vale la pena el riesgo de "búsqueda de sentido", ¿qué podemos perder? Lo peor que pudiera suceder tal vez sería que de tanto mirar estas representaciones terminemos por ver pirámides, esfinges y, más aún, canales marcianos. Somos tan imaginativos...

De algo sí podemos estar seguros: las representaciones (aún con la arbitrariedad con que las ordenamos) se refieren a la realidad, no a la imaginación; están inscritas en las maneras peculiares que ha adoptado este universo. Podríamos afirmar con Hawking (cuando se refiere al principio de incertidumbre de Heisenberg) "(...) es una propiedad fundamental, ineludible, del mundo."

NOTAS:

Carl Sagan. CONTACTO. Ed. Emecé; Buenos Aires 1997. pp. 308-309. Carl Sagan. LOS DRAGONES DEL EDÉN. (Especulaciones sobre la Evolución de la Inteligencia Humana. Ed. Grijalbo; México 1990. p. 288Evry Schatzman. LOS NIÑOS DE URANIA (En Busca de Civilizaciones Extraterrestres) Ed. Salvat; Barcelona 1986. p. 142

Revísese en esta fuente, también, el desarrollo que hace de la fórmula de Drake para el cálculo de la frecuencia de aparición de civilizaciones extraterrestres en la Galaxia:

C= E · fp · fB · fM · fd · fV · fl · fC · tC

F. D. Drake. "Los Fundamentos del Disco Voyager." En Carl Sagan et al . MURMULLOS DE LA TIERRA. Ed. Planeta. Barcelona 1978. pp. 49 y 53

Carl Sagan. COSMOS. Ed. Planeta; México 1993 pp. 314-315.

Diálogo entre Ellie y uno de los extraterrestres en Carl Sagan. CONTACTO. Op cit. . pp. 308-309. Nota: los subrayados de pi son nuestros.

Santiago Valiente. ALGO ACERCA DE LOS NÚMEROS. Lo Curioso y lo Divertido. Ed. Alhambra Mexicana. México 1995. pp 151-152

Stephen Hawking. HISTORIA DEL TIEMPO. Del Big Bang a los Agujeros Negros. Ed. RBA Editores Barcelona 1993. p83